Définition

$${{x^n}}=\begin{cases}{{\underbrace{x\times x\times\cdots\times x}_{n\text{ fois } } }}, {{n\gt 0}}\\ {{1}}, {{n=0}} \\ {{\underbrace{\frac 1x\times\frac 1x\times\cdots\times\frac 1x}_{-n\text{ fois } } }}, {{n\lt 0}}\end{cases}$$

Formules utiles

Formule du binôme de Newton

Opérations sur les puissances

Puissance négative

Si \(x\neq 0\), $${{(x^n)^{-1} }}={{\frac{1}{x^n} }}={{\left(\frac{1}{x}\right)^n}}={{x^{-n} }}$$

Addition et multiplication de puissances

Soient \(n,m\in\Bbb Z\). Alors $${{x^{n+m} }}={{x^n.x^m}}$$
$${{(x^n)^m}}={{x^{nm} }}$$

Puissance non entière

Soit \(r\in\Bbb Q\setminus\Bbb Z,r\gt 0\)
Soient \(n,p\) tels que \(r=\frac pn, p\in\Bbb N\setminus\{0\}\) et \(n\in\Bbb N\setminus\{0,1\}\)
Alors : $${{x^r=x^{p\over n} }}={{\left(\sqrt[n]{x}\right)^p}}$$
Pour

• \(x\geqslant0\) si \(n\) est pair
• \(x\in\Bbb R\) si \(n\) est impair

(Racine n-ième)

Dérivée

$$\left( {{x^\alpha}}\right)'={{\alpha x^{\alpha-1} }}$$

Equivalence

$${{(1+x)^\alpha-1}} }}\underset{ {{0}} }\sim {{\alpha x}}$$

Primitive

$$\int {{x^\alpha}}\,dx={{\frac{x^{\alpha+1} }{\alpha+1}+k,\alpha\in\Bbb R\setminus\{-1\} }}$$ $$\int{{(x-a)^\alpha }} dx={{\frac1{\alpha+1}(x-a)^{\alpha+1}+k}}$$ $$\int{{ {1\over (x-a)^n} }}\,dx={{-{1\over(n-1)(x-a)^{n-1} }+k}}$$

Lien entre puissance et exponentielle

Définition :
Pour \(a\gt 0\) et \(b\in \Bbb R\)
$${{a^b}}=\exp({{b\ln a}})$$
(Fonction exponentielle, Logarithme népérien - Logarithme naturel)

Conséquences des identités remarquables

$${{ab}}{{\leqslant}}{{\frac12(a^2+b^2)}}$$

Montrer que $$ab\leqslant\frac12(a^2+b^2)$$

Équivalence en utilisant une identité remarquable
$$\begin{align} ab\leqslant\frac12(a^2+b^2)&\iff2ab\leqslant a^2+b^2\\ &\iff0\leqslant a^2-2ab+b^2\\ &\iff0\leqslant(a-b)^2\end{align}$$
Un carré étant toujours positif, cette propriété est toujours vraie

Développement limité en 0

Développement limité avec \(a=0\) : $${{(1+x)^\alpha}}={{\sum^n_{k=0}\binom\alpha kx^k+x^n\epsilon(x)}}={{\sum^n_{k=0}\frac{x^k\prod^k_{i=0}(\alpha-i) }{k!}+x^n\epsilon(x)}}$$ Développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) : $$(1+x)^\alpha={{1+\alpha x}}+x\varepsilon(x)$$
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire le développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) de \((1+x)^\alpha\).
Verso: $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Développement limité à l'ordre \(2\) en \(0\) : $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+{{\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre \(3\) en \(0\) : $${{(1+x)^\alpha}}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}2+{{\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^3}6}}+x^3\varepsilon(x)$$

Factorisation

Puissance 3

$${{x^3-y^3}}={{(x-y)(x^2+xy+y^2)}}$$